Matemáticas Superiores. Cálculo Diferencial e Integral por Bugrov y Nikolski

Capitulo 1. Introducción

1.1 Asignatura de las matemáticas. Magnitudes variables
1.2 Operaciones sobre conjuntos
1.3 Símbolos de la lógica matemática
1.4Números reales
1.5 Definiciones de la igualdad y de la desigualdad
1.6 Definición de las operaciones aritméticas
1.7 Propiedades fundamentales de los números reales
1.8 Acceso axiomática concepto del número real
1.9 Desigualdades para las magnitudes absolutas
1.10 Segmento, intervalo, conjunto acotado
1.11 Conjunto numerable                                                                                

 Capitulo 2. Limite de una sucesión

2.1 Concepto de límite de una sucesión
2.2 Operaciones aritméticas con las variables que tiene límite
2.3 Infinitésimo y variable infinitamente grande
2.4 Expresiones indeterminadas
2.5 sucesiones monologas
2.6 Numero e
2.7 Principio de segmentos encajados
2.8 Cotas exactas superior e inferior de un conjunto
2.9 Teorema de Bolzano- Welerstrass
2.10 Limite superior e inferior
2.11 Condición de Gauchy  para la convergencia de una sucesión
2.12 Completitud y continuidad de un conjunto de números reales

 Capitulo 3. Función. Limite de una función

3.1 Función
3.2 Limite de una función
3.3 Continuidad de la función
3.4 Discontinuidades de primera y segundo especies
3.5 Funciones continuas en un segmento
3.6 Función inversa continúa
3.7 Continuidad uniforme de una función
3.8 Funciones elementales
3.9 Limites notables
3.10 Orden de la variable Equivalencia

 Capitulo 4. Calculo diferencial de las funciones de una sola variable

4.1 Derivada
4.2 Interpretación geométrica de la derivada
4.3 Derivadas de las funciones elementales
4.4 Derivada de una función compuesta
4.5 Derivada de una función inversa
4.6 derivadas de las funciones elementales
4.7 Diferencial de una función
4.8 Otra definición de la tangente
4.9 Derivada de orden superior
4.10 Diferencial de orden superior
4.11 Diferenciación de las funciones definidas parametricamente
4.12 Teoremas del valor medio
4.13 Revelación de indeterminaciones
4.14 Formula de Taylor
4.15 Serie de Taylor
4.16 Formulas y series de Taylor de las funciones elementales
4.17 Extremo local de una función
4.18 Valores extremales de una función en un segmento
4.19 Convexidad de una curva. Puntos de inflexión
4.20 Asíntota de la grafica de una función
4.21 Curva continua y suave
4.22 Esquema de construcción de la grafica de una función
4.23 Función vectorial. Vectores de la tangente t de la normal

 Capitulo 5. Integrales indefinidas

5.1 Integral indefinida. Tabla de integrales
5.2 Métodos de integración
5.3 Números complejos
5.4 teoría de polinomio de n-esimo orden
5.5 Polinomio real de n-esimo grado
5.6 Integración de las expresiones racionales
5.7 Integración de las funciones irracionales

Capitulo 6. Integral definid

6.1 Problemas que conducen al concepto de integral definida
6.2 Propiedades de las integrales definidas
6.3 Integral como función del límite superior
6.4 Formula de Newton-Leibniz
6.5 Resto de la formula de Taylor en la forma integral
6.6 Suma de Darboux. Condiciones de la existencia de una integral
6.7 Integrabilidad de las funciones continuas y monótonas
6.8 Integrales impropias
6.9 Integrales impropias de las funciones no negativas
6.10 Integración por partes de las integrales impropias
6.11 Integral impropia con singularidades en varios puntos 

Capitulo 7. Aplicaciones de las integrales. Métodos aproximados

7.1 Área en las coordenadas polares
7.2 Volumen de un cuerpo de revolución
7.3 Curva suave en un espacio. Longitud de un arco
7.4 Curvatura y radio de curvatura. Evoluta y evolvente
7.5 Área de una superficie de revolución
7.6 Formula de interpolación de Lagrange
7.7 Formulas de integración numérica de los rectángulos y trapecios
7.8 Formula de Simpson                                                                                 

Capitulo 8. Calculo diferencial de las funciones de varias variables  

8.1 Información preliminar
8.2 Conjunto abierto
8.3 Limite de una función
8.4 Función continua
8.5 Derivadas parciales y derivadas direccionales
8.6 Funciones diferenciables
8.7 Plano tangente. Significado geométrico de la diferencial
8.8 Derivada de una función compuesta. Derivada direccional. Gradiente
8.9 Diferencial de una función. Diferencial de orden superior
8.10 Formula de Taylor
8.11 Conjunto cerrado
8.12 Función continua en un conjunto acotado cerrado
8.13 Extremos
8.14 Búsqueda de los valores máximos y mínimos de una función
8.15 Teorema de existencia de una función implícita
8.16 Plano tangente y normal
8.17 Sistemas de funciones dadas en la forma implícita
8.18 Aplicaciones
8.19 Extremo condicionado

 Capitulo 9.Series

9.1 Concepto de serie
9.2 Integral impropia y una serie
9.3 operaciones con las series
9.4 Series de términos no negativos
9.5 serie de Leibaiz
9.6 series absolutamente convergentes
9.7 Series de términos reales que convergen condicionalmente
9.8 Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme
9.9 Integración y derivación de las series uniformemente convergentes
9.10 Multiplicación de las series absolutamente convergentes
9.11 Series de potencias
9.12 Diferenciación de integración de las series de potencias
9.13 Funciones e, sen z, cos z de una variable compleja
9.14 Series en los cálculos aproximados
9.15 Concepto de serie múltiple
9.16 Adición de las series y de las sucesiones